venuspub
ورود / ثبت نام

درباره هندسه تحلیلی بیشتر بدانیم؟

4/شهریور/1398 مقالات بدون دیدگاه

هندسه تحلیلی شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی‌هایی در صفحه مختصات توصیف می‌شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی‌ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می‌گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته‌ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصات دکارتی از اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می‌توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می‌بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم.

بردارها

برخی از کمیات که اندازه می‌گیریم با اندازه‌شان کاملا مشخص می‌شوند مانند جرم ، طول ، زمان. اما همانطور که می‌دانیم توصیف یک نیرو ، تغییر مکان و سرعت تنها با اندازه مشخص نمی‌شوند بلکه برای درک صحیحی از آنها باید جهت آنها نیز برای ما مشخص باشند کمیاتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز می‌باشند معمولا با پیکانهایی به نمایش درمی‌آیند که به جهت اثر کمیت اشاره می‌کنند و طول‌هایشان به اندازه اثر آنها برحسب واحد مشخص اشاره می‌کنند. به این کمیات بردار می‌گوییم.

یک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره‌خطی جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول و جهت تشکیل می‌شود و بردار را همسنگ و یا حتی یکی می‌نامیم هرگاه طول و جهتشان یکی باشد.

بردارهای نوین امروزی ریشه در کواترنیونها دارند. کواترنیونها تعمیمی هستند از جفت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/dfbcd7e0afe8ecaa5e354ff3b7b6a31a.pngبه چهارتایی مرتب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3daaf4d8106e5c3c0cfcfc7cfe2fc712.png. جبر کواترنیونها را ویلیام همیلتن ریاضیدان ایرلندی (1805-1865) ابداع کرد. اما مهندسان علی‌الخصوص اولیور هویساید آنالیز برداری را رواج دادند. برخی از فیزیکدانان از جمله شاخص‌ترین آنها جیمز کلارک ماکسول ، از هر دو مضمون کواترنیونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحویل قرن ، آنالیز برداری گیبس و هوسیاید غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستین معتقدان، فیزیکدانان از نخستین گروندگان و ریاضیدانان آخرین پذیرندگان این باب از ریاضیات بودند.

بردارها درفضا

مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست. طول برداری مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d928949237578856784760f1adc1bd6.pngبا دوبار استفاده از قضیه فیثاغورث بدست می‌آید. و جهت آنها از تقسیم مولفه‌های برداری چون A بر اندازه‌اش بدست می‌آید.

معادلات پارامتری حرکت ایده‌آل پرتابه

برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می‌کنیم پرتابه مانند ذره‌ای رفتار می‌کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می‌کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می‌چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می‌کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می‌کنیم پرتابه در لحظه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/28d2007ed66738f805fe42846393fdab.pngاز مبدا صفحه xy پرتاب می‌شود. همچنین فرض می‌کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می‌کند و مقدار سرعت اولیه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bf228992c1f06abbf2fb32d8d97718b4.pngاست و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d54c801b9b4adcc32bac63c381fde3c2.pngمی‌سازد. در هر لحظه t ‌، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/116a76ab2a1bbfe383c9a32008914b6c.png، مکان پرتابه با جفت مختصات http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/09143afd811da7a3c134cc3b7cb7c694.png. مشخص می‌شود. بنابراین پس از ساده‌ کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می‌یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می‌سازد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e86b687b42fcc7a85c0a11bf6711b351.png

مسیر ایده‌آل یک سهمی است.

اغلب ادعا می‌شود که مسیر حرکت آبی که از یک لوله بیرون می‌جهد یک سهمی است اما اگر به دقت این مسیر بنگریم می‌بینیم که هوا سقوط آب را کند می‌کند و حرکت آن رو به جلو آنقدر کند است که از انتهای سقوطش از شکل سهموی خارج می‌شود. ادعایی که در مورد سهموی بودن حرکت می‌شود فقط در مورد پرتابه‌های ایده‌آل واقعا درست است. این مطلب را می‌توان از روابط که در بالا برای y ,x ذکر شد بدست آورد. بدین ترتنیب که هرگاه مقدار t را از معادله x بدست آوردیم و آن را در معادله y جاگذاری کنیم معادله دکارتی بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش یک سهمی است.

خط در فضا ، فاصله در فضا

گاهی لازم است که فاصله بین دو نقطه مثل http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71dff1e526f313906e472cd2ffeb1344.pngدر فضا مشخص باشد برای این کار طول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d34cacd7074cbac5efa25aca4d8d48be.pngرا می‌یابیم که در اینصورت داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d7bf9d1ae6ae70e6fa1de3eb0d16ae6a.png

وسط پاره خط

مختصات نقطه وسط M پاره‌خطی که دو نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a9f0a6498d482060381de83aa405afc7.pngرا بهم وصل می‌کند متوسط مختصات http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71dff1e526f313906e472cd2ffeb1344.pngهستند. برای پی‌بردن به دلیل این مطلب کافی است توجه کنیم که این نقطه مختصات مولفه عددی برداری است که مبدا را به M وصل می‌کند که به این ترتیب تمام مولفه‌های M از نصف مجموع مولفه‌های نظیر به نظیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71dff1e526f313906e472cd2ffeb1344.pngبدست می‌آید.

زوایای بین خم‌ها

زوایای بین دو خم مشتق‌پذیر در یک نقطه تقاطع آنها عبارت‌اند از زوایای بین خط‌های راس بر آنها در آن نقطه.

معادله‌های خط و پاره‌خط

فرض می‌کنیم L خطی باشد در فضا که از نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d5e179b7f7134770b08f59843c30ad60.pngبگذرد و موازی با بردار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e4c3ed1f926e02f2a1c86589366d019a.pngباشد. پس L مجموعه نقاطی است مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/602bb9e7d7adaeb210ba05ffc45c2b62.pngبه قسمی که بردار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2c022a0f74f8a657b4bd195c23f49dda.pngبا V موازی است یعنی P بر L واقع است اگر و تنها اگر به ازای عددی مانند t داشته باشیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1169deb1100d81e889ef9417b721d8ea.pngاین معادلات را پس از ساده ‌کردن بصورت معادلات پارامتری متعارف خط L درست می‌یابیم که عبارت‌اند از:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cab2493b1104d6f622343de24ec3cbd3.png
وقتی پارامتر t از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e0cd97eac714c103d7af709d609ffd3c.pngتا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7506ad8abbd3b3c9bff7a17fde99f20a.pngافزایش می‌یابد نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/602bb9e7d7adaeb210ba05ffc45c2b62.pngدقیقا یکبار خط را می‌پیماید. وقتی t بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5919092cd48626c65893df4366473639.pngرا می‌پیماید، P از نقطه‌ای که در آن t=a تا نقطه‌ای که در آن t=b بر روی یک پاره‌خط جابجا می‌شود.

فاصله یک نقطه از یک خط

برای یافتن نقطه‌ای چون P از خطی مانند L کافی است برای اولین قدم نقطه‌ای مانند Q را روی L در نظر بگیریم که نزدیکترین فاصله را تا P داشته باشد سپس برای قدم دوم لازم است فاصله P تا Q را محاسبه کنیم بدین ترتیب فاصله یک نقطه از خط دیگری را بدست آورده‌ایم.

معادله صفحه

فرض می‌کنیم M معرف صفحه‌ای از فضاست که از نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d5e179b7f7134770b08f59843c30ad60.pngمی‌گذردو بر بردار ناصفر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a8f1cb50d1877c05e2c55205018491.pngعمود است. پس M از مجموعه نقاطی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/602bb9e7d7adaeb210ba05ffc45c2b62.pngتشکیل می‌شود که به ازای آنها بردار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2c022a0f74f8a657b4bd195c23f49dda.pngبر N عمود است. یعنی P روی M است اگر و تنها اگر: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3844541b5a319689e63edc307d826b97.png
با جاگذاری عبارت معادل در تساوی فوق معادله صفحه حاصل می‌شود.

زاویه بین دو صفحه ، فصل مشترک دو صفحه

بنابه تعریف زاویه بین دو صفحه متقاطع ، زاویه حاده‌ای است که دو بردار قائم بر آنها با هم می‌سازند. بنابراین زاویه بین دو صفحه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ea1b548752fae1f6bb37694742fbf2ea.pngکه بردارهای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6e05332f10ed9202364965400f30f7fe.pngقائم بر دو صفحه‌اند توسط رابطه زیر حاصل می‌شود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6ce8b8cb79fa8bce22f814b8cc33ca6b.png


برای یافتن معادلات پارامتری فصل مشترک دو صفحه ابتدا برداری موازی با فصل مشترک و سپس نقطه‌ای واقع بر فصل مشترک می‌یابیم. همانطور که می‌دانیم هر بردار که موازی با فصل مشترک دو صفحه باشد با هر دو صفحه مفروض موازی است لذا بر بردارهای قائم بر آن دو صفحه عمود است. بنابراین با یافتن بردار حاصل ضرب خارجی بردارهای عمود بر صفحات می‌توان بردار موازی فصل مشترک را بیابیم. برای یافتن نقطه‌ای روی فصل مشترک باید نقطه‌ای بیابیم که در هر دو صفحه باشد بدین منظور z=0 را در معادلات صفحه قرار می‌دهیم و دستگاه حاصل را نسبت به x , y حل می‌کنیم نقطه حاصل در هر دو صفحه خواهد کرد.

کاربردها

هندسه تحلیلی همانطور که از نامش پیداست به تحلیل و کنجکاوی هندسه و روابط هندسی می‌پردازد و کاربردهای آن در مسیر علوم از جمله فیزیکی - اخترشناسی- هوافضا- حتی شیمی غیرقابل انکار است. همه مطالب ذکر شده فوق مقدمه‌ای است برای بررسی مفصل‌تر حرکت. مبحث بردارها پایه خوبی برای بسط و گسترش حساب دیفرانسیل و انتگرال فراهم آورده است.

برچسب ها: درباره هندسه تحلیلی بیشتر بدانیم؟ دی وی دی هندسه تحلیلی دانلود دی وی دی هندسه تحلیلی



دیدگاه
دیدگاه شما :

آخرین مطالب

شرایط انصراف از تحصیل و شرکت مجدد دانشگاه روزانهزمان تکمیل ظرفیت کنکور ارشد اعلام شد30 گام تا کنکور بخش پنجم آماده سازی شب کنکور30 گام تا کنکور بخش چهارم تمرین تکنیک های آرام بخش30 گام تا کنکور بخش سوم منابع مهم کنکور30 گام تا کنکور بخش دوم مکان مناسب برای مطالعه کنکور30 گام تا کنکور بخش اول نحوه برنامه ریزی برای کنکورآشنایی با دی وی دی های زیست شناسی تجربی ونوس بخش دومآشنایی با دی وی دی های زیست شناسی تجربی ونوس بخش اولآسیب‌های تنوع مدارساهمیت دروس عمومی در کنکور سراسریدانشگاه تهران جزئیات پذیرش دانشجوی پزشکی از لیسانس را اعلام کردطرح جایگزین کنکور در مجلسمیزان تاثیر سوابق تحصیلی در کنکور 99آموزش و پرورش نتوانست سوابق تحصیلی را به خوبی ایفا کندمنابع امتحانی کنکور سراسری سال ۱۳۹۹8 راه موفقیت در آزمون تستیپذیرش بدون آزمون در دانشگاه‌ها دائمی شدرشته های پرطرفدار در دانشگاه امیرکبیردرباره ارشد اقتصاد بیشتر بدانیم